【Some Math】Pascal’s rule

Pascal’s rule 是说:

$$\pmatrix {n-1 \\ k } + \pmatrix{n-1 \\ k-1} = \pmatrix{n \\ k}$$

排列组合公式计算可验证,在此不必赘述。

这个rule可以有一个很直观的理解:在n个元素中,选择k个不同值,相当于在其中「在n个元素中的n-1个元素中,选择k个值。剩下的那个不选」,以及「在n个元素中的n-1个元素中,仅选择k-1个值。剩下的那个元素作为第k个值」这两种情形之和。

binomial公式(伯努利分布,二项分布)同样可以用这种递归的方式去写(事件一共重复N次,每次成功的概率为p,计算成功k次的概率):

binomial(N, k, p) = (1-p

「Old Article」笔记:费马质数检验算法

按:这篇文章写于2018年11月27日

An Algorithm for detecting prime number (Primality Test)

1. Fermat’s Little Theorem and its converse-negative proposition
  • Fermat’s Little Theorem is introduced:If ​ is an integer, and ​ is a prime number, then ​ must be one of multiples of ​Which means that: ​Then we have:​ Then the commonly used format is:​
  • If Fermat’s Little Theore

从马尔可夫不等式到弱大数定律

回过头来看,从马尔可夫不等式到大数定律的推导,乃是概率论到统计学的桥梁。过去一直对这里感到迷茫,但其实稍微整理一下就会很清楚:

首先是Markov不等式。

它是以俄国数学家Andrey Andreyevich Markov的名字命名,同时也有Markov Chain这个在信息论上著名的东西。这个不等式,简单而言,就是我们可以一个随机变量的期望值判断这个随机变量取值的概率:

$$P(X \geq a) \leq \dfrac{E[X]}{a} (given \ X \geq 0)$$

显而易见,随机变量大于更大的\(a\)的概率会越低。比方说,当​ \( a = E[X] \)的时候,我们有​\( P(X \geq E[x]) \leq 1 \) , …

折纸的乐趣?

前几天参加公司的一个培训,日本那边的同事和中国这边的混合坐在一起分成几个小组,做一些活动之类。坐在我旁边的日本女生一直在无聊的时候折恐龙,我意识到这是一种非常优雅地表达自己玩世不恭的方式,但她本意是否如此我就不得而知了,至少她是一个做笔记和小组讨论极其认真的人。

数学上来说,折纸带给我一种维度极速扩张的体验。就像编曲中加入各种和声乐器,但折纸是一种成本更为低廉,速度更加迅猛,更加可感的体验方式。我觉得欧拉或者高斯一定是折纸高手。我维基百科了一下,发现果然有所谓「折纸数学」这种东西,上面说:

从带有折痕的平纸重新折出原来的形状这一问题已被Marshall Bern和Barry Hayes证明为NP完全